【人教版】高中数学必修第一册 (A版): 从根式到分数指数幂：数系的扩张与指数定义

当我们研究某种生物（如蓝藻）的指数增长时，如果增长率为 $6.25\%$，经过 $x$ 天后的数量可以用 $y = (1+6.25\%)^x$ 表示。那么，如果 $x$ 不是整数（比如 $1.5$ 天），这个公式还有意义吗？为了回答这个问题，我们需要将指数的定义从整数推广到有理数乃至实数，这就是数系扩张的必然要求。

$n$ 次方根与分数指数幂

$n$ 次方根的定义： 一般地，如果 $x^n=a$，那么 $x$ 叫做 $a$ 的 $n$ 次方根，其中 $n>1$，且 $n \in \mathbf{N}^*$。式子 $\sqrt[n]{a}$ 叫做根式。

分数指数幂： 为了统一运算性质，我们规定正数的正分数指数幂为：$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}} (a>0)$。这意味着所有的根式都可以转化为幂的形式进行运算。

根式是幂运算在分数维度的体现。通过定义分数指数幂，我们消除了根号与指数之间的界限，使得运算性质得以统一。

$$(\sqrt[n]{a})^n=a, \quad \sqrt{b}=b^{\frac{1}{2}} (b>0)$$

QUESTION 1

已知幂函数 $y=f(x)$ 的图象过点 $(2, \sqrt{2})$, 求这个函数的解析式。

$f(x) = x^{1/2}$

$f(x) = x^2$

$f(x) = x^{2}$

$f(x) = \sqrt{2}x$

QUESTION 2

比较 $(-1.5)^3$ 与 $(-1.4)^3$ 的大小。

$(-1.5)^3 < (-1.4)^3$

$(-1.5)^3 > (-1.4)^3$

$(-1.5)^3 = (-1.4)^3$

无法比较

QUESTION 3

求 $\log_{\frac{1}{3}} x = -3$ 中 $x$ 的值。

$27$

$1/27$

$9$

$-27$

QUESTION 4

某地 GDP 的年平均增长率为 6.5%，若要使 GDP 翻两番（变为原来的4倍），大约需要多少年？

22年

11年

31年

15年

QUESTION 5

计算 $\lg 0.00001$ 的值。

$-5$

$5$

$-4$

$0.00001$

QUESTION 6

下列各式中，结果等于 $|a|$ 的是：

$\sqrt{a^2}$

$\sqrt[3]{a^3}$

$(\sqrt{a})^2$

$a^{\frac{1}{2}}$

QUESTION 7

在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以 $6.25\%$ 的增长率呈指数增长，经过 30 天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？

$1.0625^{30} \approx 6.25$

$1.0625 \times 30$

$0.0625^{30}$

$30^{1.0625}$

QUESTION 8

将根式 $\sqrt[4]{c^3}$ 化为分数指数幂形式（$c>0$）。

$c^{\frac{3}{4}}$

$c^{\frac{4}{3}}$

$c^3$

$c^{-1}$

QUESTION 9

undefined

零点是函数图象与 x 轴交点的横坐标

零点是坐标点 $(x, 0)$

只要 $f(a)f(b)<0$，函数在 $(a, b)$ 就只有一个零点

只有指数函数才有零点

QUESTION 10

若某物质的半衰期为 $h$，初始质量为 $Q_0$，则时间 $t$ 后的剩余质量 $Q(t)$ 为：

$Q(t) = Q_0 (1/2)^{t/h}$

$Q(t) = Q_0 (1/2)^{h/t}$

$Q(t) = Q_0 e^{-t}$

$Q(t) = Q_0 - (1/2)t$

时间 $t$ (年)	0	10	20
$P_1$ (万元)	100	150	200
$P_2$ (万元)	100	141	200